普通的模式匹配算法(BF算法)
子串的定位操作通常称为模式匹配算法
假设有一个需求，需要我们从串“a b a b c a b c a c b a b"中，寻找内容为“a b c a c”的子串。
此时，称“a b a b c a b c a c b a b"为主串S，“a b c a c”为模式串T。很容易想到，通过遍历主串S，与模式串T的首字母逐一比对，当主串S中的某一元素i与模式串T首字符j相同，则将主串S中第i+1个字符与模式串T的j+1个字符继续匹配。若匹配成功，则继续将主串S中的第i+2个字符与模式串T中的第j+2个字符进行比对。若匹配失败，则将主串S的第i+1个字符与模式串的第j个字符重新比对....
将上述文字转化为图像如下：
按照动画的显示效果很容易理解BF模式匹配算法。
通过分析可以得出，每次匹配失败之后，i的指向又将回到主串S的i-j+2位置通过C语言伪代码的方式实现：
若将主串S的长度看作m，将模式串T的长度看作n
则该代码的时间复杂度为O(m+n)BF算法确实实现了模式匹配的目的，但同时也有较大的缺陷模式匹配改进算法(KMP算法)的引出
假设目前有这样一个主串S与模式串T
主串S：
模式串T：
比对过程：
显而易见，使用BF模式匹配算法，一旦遇到主串S元素与模式串T高度重合，但鲜有不同。此种算法将进行大量重复的“主串S回退”，如此一来，时间复杂度将达到O(m*n)而后，D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris发现了一套模式匹配的改进算法，根据他们的名字的字母，该算法被命名为：
KMP算法KMP算法
KMP算法基本概念
KMP算法可以在时间复杂度为O(m+n)的时间数量级上完成模式匹配操作。
其不同点在于，在匹配失败之后，不需要回溯i指针而是利用已经“部分匹配”的结果，将模式串T向右滑动尽可能远的距离
(KMP算法比对过程1)
(KMP算法比对过程2)
(KMP算法比对过程3)从该描述中我们提取出要使用KMP算法最核心的三个问题：1.滑动的条件 2.滑动的模式 3.滑动距离k的求解滑动的条件
这部分我们探究当发生“失配”后，主串S中的i应该与模式串T中的第几个字符(这里用K指代)继续进行比较。
在什么条件下我们可以将窗口进行“滑动”？或者说，怎样才叫发生了“部分匹配”？这里给出严蔚敏版的《数据结构》中，对于“部分匹配”条件的定义(模式串为p，主串为s)：①[p_1p_2...p_{k-1} = s_{i-k+1}s_{i-k+2}...s_{i-1} ]
②
[p_{j-k+1}p_{j-k+2}...p_{j-1} = s_{i-k+1}s_{i-k+2}...s_{i-1} ]
③
[p_1p_2...p_{k-1} = p_{j-k+1}p_{j-k+2}...p_{j-1} ]
刚看到这三个公式的时候，有点懵，但仔细比对之后可以发现
公式①说明：模式串p从头开始的子串与后面某段已发生“部分匹配”的主串s的子串q相同公式②说明：模式串p在除开头以外，有一段子串与刚才的子串q发生了“部分匹配”公式③说明：如果满足上述两个条件，则可以得出模式串p中有两端相同的子串如果满足以上三个条件(满足前两个条件则第三个必定满足),则可以快速“滑动k个位置”来进行KMP模式匹配
滑动的模式
明确了前提条件之后，我们建立应该next[j]来保存每次比对结束后的K值
约定：| next[j] | 条件 | 结果 |
|---|---|---|
| 0 | 当j等于1 | 将i向后移动一位 |
| k | 取Kmax，1<k<j 且 满足条件③ | 将模式串的第k位与当前i对齐 |
| 1 | 其他情况 | 将模式串的第1位与当前i对齐 |
反映成代码形式：
滑动距离K的求解
由
[p_1p_2...p_{k-1} = p_{j-k+1}p_{j-k+2}...p_{j-1} ]
- 可知next[j]仅与模式串有关而与主串无关
这里是整个KMP算法的核心部分，在我反反复复看几十遍严蔚敏版的《数据结构》之后，我终于理清了整个求解滑动距离的方法。
整个算法分为两个情况：[p_k = p_j ]
以及
[p_k ≠ p_j ]
若满足第一种情况，有
next[j+1] = next[j] + 1;
若满足第二种情况，则又分为两种情况
- 设K' = next[k],当P[K'] = P[j] 时，有next[j+1] = next[k] + 1;
- 如果一直移动K'到j = 1时，还不能找到对应的P[K'] = P[j],那么直接有next[j+1] = 1;
在展开讲求next[j]的算法之前，必须要明确的一点是：
- k，j，k'，j+1分别代表串中的哪些位置
在这里给出明确定义：
- j+1就是你需要求k值的模式串位置
- j就是当前需要求出K值的字符的前一个字符
- k-1就是“已匹配”的前缀的最后一个字符
- k就是“已匹配”的前缀的最后一个字符的后一个字符
注意
- 前缀一定要包含第1个字符
- 后缀一定要包含希望求得K的字符的前一个字符
如图所示，如果我们要求得串中第5个字符的K值，假设前四个字符K值均已经求得，设我们的目标字符指针为j+1
又有第1个‘a’与第3个‘a'匹配，所以他们分别为k-1和j-1因此第2个字符为k，第4个字符为j。- 重点来了让我们抛出一个例子，来理解next[j]的求法假设我们已知j=1，2，3，4的next[j]值分别为：0，1，1，2由于k-1和j-1已经”匹配“，则满足前置匹配条件，我们来比较pk和pj的内容，pk = b，pj = a；可见它们并不相等，因此k指向的b会甩锅给“next[k]”字符，而next[k] = 1，也就是串的第一个字符‘a'第一个字符‘a'成功与第j个字符‘a'相匹配，因此依照我们定义的的pk ≠ pj的第一种情况可以得到next[j+1] = next[k] + 1 = 2;
由此，我们可以通过之前定义的方式来确定所有的next[j]的值，下面给出串'abaabcac'的所有next[j]的值：
希望读者能拿起笔，从next[2]开始，计算到next[8]
相信计算完上表格的读者，已经对next[j]的计算方法有了更加深刻的理解
在这里我也分享出自己总结的口诀：- k，j相等，直接加1
- k，j不等，层层甩锅
- 甩锅失败，直接赋1
- 甩锅成功，老板加1
释义：
- pk = pj：next[j+1] = next[j] + 1;
- pk ≠ pj: 甩锅
- p[k'] = pj:next[j+1] = next[k] + 1;
- p[k'] ≠ pj:next[j+1] = 1 or 继续向next[k']甩锅。
接下来给出代码实现求next[j]：
KMP算法的改进
通过分析代码我们可以发现，当模式串元素有多个重复元素：
他们的next[j]为：0，1，2，3，4因此在比对时将出现i不动，j从调用next[j]3次的情况，在这种情况下，我们可以让j=1，2，3，4只进行一次比对就使得i向后移动一位（也就是next[j] = 0)改进算法如下：
改进之后next[j] = 0,0,0,0,4,成功避免了重复比对