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微积分小感——3.简单积分
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2022-06-22 15:22:21 2022-06-22
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微积分小感——3.简单积分

所需的前置知识: 1)函数的概念 2)实数理论 3)极限理论(第0章) 4)导数与微分(第1章) 5)微分学基本定理(第2章)

§1.定积分

—1.定积分的定义

​ 定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子:

求二次函数 (f(x)=x^2) 与直线 (x=0,x=1) 以及 (x) 轴围成的曲边形的面积 (S) 。

初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题,我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限,用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么?矩形。那么,我们不妨将这图形切割成矩形。将区间

([0,1])

等分为

(n)

份,以每份的右端点的函数值为高,计算出面积和:

[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}} =\sum_{i=1}^{n}{\frac{i^2}{n^3}} =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2} ]

(n\to\infin)

时,

(S_n)

趋于

(S)

,也就是:

[S=\lim_{n\to\infin}{S_n} =\lim_{n\to\infin}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)} =\frac{1}{3} ]

得出结论

(S=\frac{1}{3})

​ 更一般的,对于求函数

(f(x))

与直线

(x=a,x=b)

以及

(x)

轴围成的曲边形的面积,我们如法炮制。首先从小到大取闭区间

([a,b])

内一定数量的点

(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b)

,取点可以不均匀(这在极限意义下都是无关紧要的),然后将两点之间的距离

(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n))

作为矩形的底边。对每一个矩形底边

(\Delta x_i)

,在区间

([x_{i-1},x_i])

内取一点

(\xi_i)

,并以这一点的函数值

(f(\xi_i))

作为矩形的高,算出所有矩形面积之和:

[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i} ]

然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点,单纯令

(n\to\infin)

是不能达到逼近曲边形面积的效果的(例如取区间

([a,b])

(1/2,1/4,1/8,\cdots,1/2^n)

处),我们应令

(\lambda=\max{\Delta x_i}\to 0)

,也就是所有的底边长度的最大值趋于零,才能得到正确结果:

[S=\lim_{\lambda\to0}{S_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} ]

等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]:

[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} ]

形象地看,定积分的符号就是将

(S)

拉长成

(\int)

(f(\xi_i))

写成

(f(x))

(\Delta x)

写成

(\text{d}x)

,并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。

附注: 此处的 (\text{d}x) 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边,但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。

—2.定积分的性质

​ 如上定积分的定义局限于

(a<b)

的情况,简单粗暴的补充:

[\int_a^a{f(x)\text{d}x}=0 \quad, \int_b^a{f(x)\text{d}x}=-\int_a^b{f(x)\text{d}x} ]

就可以对任意的

(a,b)

做定积分了。

​ 定积分满足如下显然的(所谓证明不过是套定义式罢了)运算法则:

((ⅰ)\quad) 加减法则:(\int_a^b{(f(x)\pm g(x))\text{d}x}=\int_a^b{f(x)\text{d}x}\pm\int_a^b{g(x)\text{d}x} ) ((ⅱ)\quad) 系数法则:(\int_a^b{kf(x)\text{d}x}=k\int_a^b{f(x)\text{d}x}) ( (k) 为常数) ((ⅲ)\quad) 连接法则:(\int_a^b{f(x)\text{d}x}+\int_b^c{f(x)\text{d}x}=\int_a^c{f(x)\text{d}x})

​ 或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了,但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急,插个题外话,一切便豁然开朗。

§2.不定积分

—1.不定积分的定义

​ 求导是一种将函数变为另一个函数的运算(这被称为“算子”),如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法,我们定义如下的求导的逆运算:

若两函数 (F(x),f(x)) 满足 (F'(x)=f(x)) ,就称: [\int{f(x)\text{d}x}=F(x)+C ] 其中 (C) 为任意常数,此运算称为对 (f(x)) 的不定积分, (F(x)) 称为 (f(x)) 的原函数。

常数

(C)

的存在,是由于常数不会影响求导结果。正因如此,不定积分的结果不是一个函数,而是一个函数集合

(\mathbb{F}={F(x)+C | C\in\mathbb{R}})

,这也就是其被称为“不定”积分的缘故。

​ 出于严谨,我们要检验一下不定积分的完备性,也就是不会出现

(G'(x)=f(x))

(G'(x)\notin\mathbb{F})

证明: (F'(x)=G'(x)) 当且仅当 (F(x)-G(x)) 为常数。 由前推后:令 (\phi(x)=F(x)-G(x)) ,则 (\phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0) ,由【第2章 §2 —1. 定理零】,(\phi(x)) 为常函数,得证。 由后推前:显然。

于是我们完备地得到了不定积分的定义。

​ 根据不定积分的定义,有显然的恒等式:

[\int{f'(x)\text{d}x}=f(x)+C ]

我们把函数

(y=f(x))

的导数写成微分之比

(y'=\cfrac{\text{d}y}{\text{d}x})

的形式,自然地约掉

(\text{d}x)

得到:

[\int{y'\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\text{d}y}=y+C ]

于是,我们可以理解为:

(\int)

(\text{d})

是一对互逆运算![1]

​ 不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则:

对于函数 (u=f(x)) ,(v=g(x)) : ((ⅰ)\quad) 加减法则: (\int{(u \pm v)\text{d}x}=\int{u}\text{d}x \pm \int{v\text{d}x}) ((ⅱ)\quad) 系数法则: (\int{(k\cdot u)\text{d}x}=k\cdot\int{u\text{d}x}) ( (k) 为常数)

但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧(以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字,改为了“分部积分法”和“换元积分法”),我们会专辟一节加以讨论,此处且按下不表。

—2.微积分基本定理

​ 读到此处你一定会发现一件怪事:定积分和不定积分的定义迥然不同,但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理(又名牛顿-莱布尼茨定理):

若 (F'(x)=f(x)) ,则: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) ] 我们有时记等号右侧为 (F(x)|_a^b) ,如同时记 (F(x)=\int{f(x)\text{d}x}) ,就能得到如下的优美式子: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\left.\int{f(x)\text{d}x}\right|_a^b ]

​ 是不是令人折服?现在运用拉格朗日中值定理证明之:

证明:若 (F'(x)=f(x)) ,则: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) ] 摆出定积分的定义式: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} ] 对于任意一段 ([x_{i-1},x_i]) ,由拉格朗日中值定理[2],有: [F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)\Delta x_i\qquad c_i\in(x_{i-1},x_i) ] 由于 (\xi_i) 的选取是任意的,不妨令 (\xi_i=c_i) ,那么: [\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{f(c_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}= F(x_n)-F(x_0) ] 所以: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} =\lim_{\lambda\to0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a) ] 命题得证。

​ 有了微积分基本定理,我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度,这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时,其意义则十分重大:从几何角度,“积分”就是求曲边图形面积,“微分”就是求曲线斜率;从物理角度,“积分”就是求连续变化系统的宏观状态,“微分”就是求连续变化系统的微观改变;微积分基本定理就是在说,以上这两对操作分别互逆!

​ 有了微积分基本定理之后,我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题,定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。

—3.微积分基本定理的相关结论和例子

​ 如下结论从证明的路线上来说,理应出现再微积分基本定理前边(至少是同时),但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。

  1. 积分中值定理

    对于区间 ([a,b]) 上的函数 (f(x)) ,存在 (c\in[a,b]) 使得: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=f(c)(b-a) ] 令 (F(x)=\int{f(x)\text{d}x}) ,则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理: [\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a) ]

  2. 原函数存在定理

    对于函数 (f(x)) ,如下的函数 (F(x)) 是其原函数: [F(x)=\int_a^x{f(t)\text{d}t} ] 给定自变量增量 (\Delta x) ,则函数 (F(x)) 获得增量: [\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x) =\int_a^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}-\int_a^x{f(t)\text{d}t} =\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t} ] 根据积分的定义式,记 (f(x)) 在区间 ([x,x+\Delta x]) 上的最大最小值分别为 (M(f),m(f)) ,有: [m(f)\Delta x\leqslant \int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}\leqslant M(f)\Delta x ] 当 (\Delta x\to 0) 时,有 (\lim m(f)=\lim M(f)=f(x)) ,于是由夹逼定理: [\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}}=f(x) ] 套用导数的定义: [F'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta F}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}} =f(x) ] 意既 (F(x)) 是 (f(x)) 的原函数。 附注: 这一定理是微积分基本定理的另一种证法(抑或另一种形式)。许多求导与积分的结合,或这极限与积分的结合,往往可使用这一定理。

​ 下面举一些简单但有趣的积分计算的例子:

  1. (\sin x) 下的面积

    计算函数 (\sin x) 与 (x) 轴在区间 ([0,\pi]) 上围成的面积 (S) 。 根据定积分的几何意义,以及由 ((\cos x)'=-\sin x) ,有: [S=\int_0^\pi {\sin x\text{d}x}=(-\cos x)\Big|_0^\pi=\cos 0-\cos\pi=2 ]

  2. 两个函数所夹的面积

    如图(文件 §2-3-2.ggb )计算由 (f:y=x^2,g:y=\sqrt{x+1},x=-1,x=2) 围成的阴影面积 (S) 。 首先算出 (f,g) 两函数的原函数(不妨令积分常数 (C=0) ): [F(x)=\int{f(x)\text{d}x}=\frac{1}{3}x^3\quad,\quad G(x)=\int{g(x)\text{d}x}=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} ] 我们将如图的阴影分为三块:以 (A,B,C) 为顶点的曲边三角状面积 (S_1) ,以 (C,D) 为顶点的叶子状面积 (S_2) ,以 (D,E,F) 为顶点的曲边三角状面积 (S_3) 。整个积分区间 ([-1,2]) 相应分为三段 ([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]) (先不解出 (C,D) 的坐标),分别算出: [S_1=\int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|{-1}^{x_C} =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) \ S_2=\int{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))\text{d}x}=(G(x)-F(x))\Big|_{x_C}^{x_D} =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) \ S_3=\int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{x_D}^{2} =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) \qquad ] 将上三项相加,带入 (x_C \approx -0.724,x_D \approx 1.221) ,得到 (S=S_1+S_2+S_3 \approx 2.29) 。

  3. 运用积分夹逼

    求证:(18\leqslant\displaystyle\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\leqslant 19) 由于下面两幅图(文件 §2-3-3.ggb ),其中橙色和蓝色部分是原和(-1) ,青色和黄色的部分是函数 (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}) 在区间 ([2,100]) 和 ([1,99]) 上分别做的积分, 根据图像有 (S_{青}<S_{蓝}=S_{橙}<S_{黄}) ,因而我们可以得到: [2\sqrt{100}-2\sqrt{2}=\int_{2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}< \sum_{x=2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}} <\int_{1}^{99}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=\sqrt{99}-\sqrt{1} ] 因此: [18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 ] 附注: 此题当然有初等解法。注意到: [\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x}>\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \ \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} \ 2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}<2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1} ] 因而原和满足(此处将 (x=1) 单列是为了夹逼的紧度): [1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x})}<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1})} \ 18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 ] 然而认识到这一不等式,上两图的积分图像也是不可或缺的。

§3.特殊积分法

—1.分部、换元积分法

​ 根据已经熟知的求导法则:

[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \ (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) ]

有对应的积分恒等式:

[\int{f'(x)g(x)\text{d}x}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)\text{d}x} \ f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x} ]

第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作

[\int{f(u)\text{d}u}=\int{f(u(x))u'(x)\text{d}x} ]

此时它起到将

(u)

换为

(x)

的作用,被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下:

[\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u} \ \int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x} ]

​ 此两法的详细内容会在下一章讨论,此处先以两个例子感受一二:

  1. (\int{\sec x\text{d}x}) 令 (t=\sin x) ,则 (\text{d}x=\frac{1}{\cos x}\text{d}t) ,代入原式: [\int{\sec x\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos x}\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos^2 x}\text{d}t} =\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} ] 对于这个分式,采取裂项的手段处理(这也会在下一章详细讨论): [\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}\text{d}t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}\text{d}t} =\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C ] 由于 (t=\sin{x}\in[-1,1]) ,故 (\ln) 内不必带绝对值。回代 (t=\sin x) ,并化简: [\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C =\ln{\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}+C =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C ] 得到答案: [\int{\sec x\text{d}x}=\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C ] 附注: 另有一极巧妙的做法: [\begin{align*} \int{\sec x\text{d}x} & =\int{\frac{\sec^2 x+\tan x\sec x}{\sec x+\tan x}\text{d}x} \ & =\int{\ln'(\sec x+\tan x)\cdot(\sec x+\tan x)'\text{d}x} \ & =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \end{align*} ] 套用 (f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x}) 。

  2. (\int{e^x\sin x\text{d}x}) 令 (u=e^x,v=\sin x) ,套用两次分部积分法: [\begin{align*} \int{e^x\sin x\text{d}x} &=e^x\sin x-\int{e^x\cos x\text{d}x} \ & =e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int{e^x(-\sin x)\text{d}x}\right) \ & =e^x(\sin x+\cos x)-\int{e^x\sin x\text{d}x} \end{align*} ] 于是得出: [\int{e^x\sin x\text{d}x}=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x) ] 附注:此类形如 (e^xf(x)) 的积分常用分部积分法,通常最终会在等号右侧重现原积分。

—2.反常积分

​ 反常积分,是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分,这些点被称为“瑕点”。例如

[\int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} ]

就有

(-\infin,-1,+1,+\infin)

四个瑕点。

​ 总可以通过拆分,将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点,并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义,容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义(以下的

(c)

皆是函数无定义的点):

[\begin{align*} & \int_a^c{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in[a,c)) \ & \int_c^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in(c,b]) \ & \int_a^{+\infin}{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to +\infin}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \ & \int_{-\infin}^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to -\infin}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \end{align*} ]

​ 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断:

由于被积函数 (\cfrac{x}{x^2-1}) 是奇函数,所以 [\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{-t}^{0}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)} \ & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{0}^{t}{\frac{-x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)}=0 \end{align*} ]

如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分:

[\int{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\text{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}\text{d}x} =\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)+C ]

然后老老实实按定义:

[\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{b\to-1}{\int_{-2}^b{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \ & +\lim_{c\to-1}{\int_c^0{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} + \lim_{d\to1}{\int_0^d{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}}\ & +\lim_{p\to1}{\int_p^2{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{q\to+\infin}{\int_2^q{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \end{align*} ]

首先取出第一个积分:

[\begin{align*} \lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} &=\lim_{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)}\Big|{a}^{-2} \ &=\lim{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln3+\ln1-\ln(1-a)-\ln(-1-a))} \ & =-\infin \end{align*} ]

依次计算剩余积分,得出的结果分别是

(-\infin,+\infin,-\infin,\infin,\infin)

,这些无穷互不关联,于是原积分的结果是一个不存在的值。

—3.体积、弧长、表面积积分

​ 所谓“面动成体”,积分给予了我们强大的计算面积的工具,那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间

([a,b])

上的函数

(f(x))

,我们将它与

(x)

轴、直线

(x=a,x=b)

围成的面积绕

(x)

轴旋转一周,求得到的立体的体积。

​ 回到积分定义的本源,我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条,累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕

(x)

轴旋转一周,则可以得到一组圆盘,每个圆盘的半径为矩形的高,也就是这一区间内某点的函数值,高为矩形的宽。因此,旋转体就可以横截成多个圆盘,累加来近似。

​ 将思路落实成式子。首先分割区间

([a,b])

为点

(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b)

,然后将每两点之间的距离

(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n))

作为圆盘的厚度,同时在每个区间

([x_{i-1},x_i])

内取一点

(\xi_i)

,并以这一点的函数值

(f(\xi_i))

作为圆盘的半径,算出所有圆盘体积之和:

[V_n=\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i} ]

仿照积分定义的那个极限:

[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i}}=\int_a^b{\pi(f(x))^2\text{d}x} ]

​ 让我们以一个实例练手

求半径为 (r) 的球的体积。 球由半圆旋转而成。半径为 (r) 的半圆对应函数 [y=\sqrt{r^2-x^2} \qquad(-r\leqslant x\leqslant r) ] 套用旋转体体积公式: [V=\int_{-r}^r{(\sqrt{r^2-x^2})^2\text{d}x} =\int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)\text{d}x} =\left(r^2x-\frac{1}{3}x^3\right)\Big|_{-r}^r=\frac{4\pi}{3}r^3 ] 就是我们熟悉的球的体积公式。如下图(文件 §3-3.ggb ,蓝色为球,绿色为推导过程中的圆盘):

​ 除了绕

(x)

轴旋转,还可以绕

(y)

轴旋转。此时的函数

(f(x))

(x)

轴、直线

(x=a,x=b)

围成的面积旋转所得的立体,就可以如洋葱一般分割成数层柱壳,其中第

(i)

层的体积为

(\nu_i=f(x_i)\pi(x_{i+1}^2-x_i^2))

。若直接将其累加套入极限,是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长

(2\pi x_i)

为长、柱壳厚度

(\Delta x_i)

为宽、柱壳高度

(f(\xi_i))

为高的长方体,其体积为

(v_i=2\pi x_i \cdot\Delta x_i \cdot f(\xi_i))

。将其累加:

[V_n=\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i} ]

仿照积分定义的那个极限:

[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i}}=\int_a^b{2\pi xf(x)\text{d}x} ]

​ 旋转体当然还可以由绕非

(x,y)

轴的轴旋转得到,统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。

​ 积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数

(y=f(x))

再闭区间

([a,b])

内的函数图像曲线的长度,首先分割区间

([a,b])

为点

(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b)

,然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离:

[l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2} =\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i ]

将这些距离累加并求极限:

[L=\lim_{\lambda\to 0}{L_n} =\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} ]

注意到当

(\lambda\to 0)

时,

(\Delta x_i\to 0)

,则根据导数的定义有

(\cfrac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\sim f'(x))

,于是:

[L=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} =\int_a^b{\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} ]

​ 我们尝试根据这个式子求圆的周长:

半径为 (r) 的半圆对应函数 (f(x)=\sqrt{r^2-x^2}) ,则 [f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}} ] 套用弧长的公式: [L=\int_{-r}^r{\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\text{d}x} =\int_{-r}^r{\frac{\text{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}} ] 换元 (x=r\sin t) ,则 (\text{d}x=r\cos t\text{d}t) ,积分下限 ([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]) (注意定积分换元时要一并替换积分区间),原积分变为 (此区间内 (\cos t\geqslant 0) ,无需讨论符号): [L=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{r\cos t\text{d}t}{\sqrt{r^2-(r\sin t)^2}}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r\text{d}t} =rt\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r ] 因此圆的周长 (C=2L=2\pi r) 。

​ 将曲线绕着轴旋转,就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积,自行推导如下两个绕

(x,y)

轴旋转得到旋转曲面的表面积:

[x\text{轴}:\ \ S=\int_a^b{2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \ y\text{轴}:\ \ S=\int_a^b{2\pi x\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \quad ]

§4.积分的实例

—1.万有引力势能

​ 我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中,质量为

(M,m)

、相距

(x)

的两物体之间的万有引力的方向指向对方,其大小可看作关于

(x)

的函数:

[F(x)=\frac{GMm}{x^2} ]

假定在原点有一质量为

(M)

的质点,定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为

(m)

的质点从无穷远点移动到

(r_0)

点过程中万有引力

(F)

做的功。我们取足够远的一点

(r_1)

,将移动过程

([r_0,r_1])

分为

(n)

段,假定每一段上

(F)

不变,累加所作的功(此时引力方向与移动方向相同,功为正):

[W_n=\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i} ]

使区间长

(\lambda\to 0)

,右端点

(r_1\to \infin)

,得到引力做的功的定义:

[W_G=\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{W_n}} =\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i}}} =\lim_{r_1\to\infin}{\int_{r_0}^{r_1}{F(x)\text{d}x}} =\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} ]

这是一个反常积分。做出不定积分:

[\int{F(x)\text{d}x}=\int{\frac{GMm}{x^2}\text{d}x}=-\frac{GMm}{x}+C ]

代回原反常积分得到答案:

[W_G=\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} =\lim_{r_1\to\infin}{\left.-\frac{GMm}{x}\right|_{r_0}^{r_1}} =\frac{GMm}{r_0}-\lim_{r_1\to\infin}{\frac{GMm}{r_1}}=\frac{GMm}{r_0} ]

由于无穷远点为势能零点,因此

(r_0)

点的万有引力势能:

[V(r_0)=V_{\infin}-W_G=-\frac{GMm}{r_0} ]

—2.质能方程

​ 我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中,两个相对速度为

(u)

的惯性系满足洛伦兹变换:

[\left{ \begin{align*} x' & =\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \ t' & =\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align*} \right. ]

若对于一个惯性系有一个速度为

(v)

的物体,那么另一个惯性系中此物体的速度

[v'=\frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\frac{\text{d}x'/\text{d}u}{\text{d}t'/\text{d}u} =\frac{uc^{-2}(x-ut)(1-u^2/c^2)^{-3/2}}{uc^{-2}(t-ux/c^2)(1-u^2/c^2)^{-3/2}} =\frac{x-ut}{t-ux/c^2}=\frac{v-u}{1-uv/c^2} ]

​ 假设有两个相对速度为

(u)

的惯性系

(S,S')

,质量均为

(m_0)

的两个质点分别相对于

(S,S')

静止。两质点相撞后合并为一个质点

(M)

,其相对于

(S,S')

的速度分别为

(v,v')

。假定参考系中物体的质量

(m)

是速度的大小

(|v|)

的函数。那么由于质量和动量守恒,对于两个惯性系分别有:

[\begin{align*} & S:\left{ \begin{aligned} m_0+m(|u|)& =M(|v|) \ 0+m(|u|)u& =M(|v|)v \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow && \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{u}{v} \ & S':\left{ \begin{aligned} m_0+m(\lvert-u\rvert)& =M(|v'|) \ 0+m(\lvert-u\rvert)(-u)& =M(|v'|)v' \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow&& \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{-u}{v'} \ \end{align*} ]

于是得到

(v'=-v)

,又根据惯性系间的速度变换 (显然,

(u>v)

):

[v'=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad-v=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{v}=1+\sqrt{1-u^2/c^2} ]

因此:

[m(|u|)=\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} ]

​ 于是可定义定义质量为

(m)

速度为

(v)

的质点的动量

(p)

为:

[p=m(|v|)v=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} ]

从而质点如此运动时所受的力

(F)

为:

[F=ma=\frac{m\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}p}{\text{d}t} ]

同【§4—1】中的功的定义,此力

(F)

在区间

([0,s])

上做功:

[W_F=\int_0^s{F\text{d}x}=\int_0^t{\frac{\text{d}p}{\text{d}t}v\text{d}t}=\int_0^p{v\text{d}p}=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v} ]

根据动量的定义计算其导数:

[\frac{\text{d}p}{\text{d}v}=\cfrac{m\sqrt{1-v^2/c^2}-mv\cdot\cfrac{-v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}{\left(\sqrt{1-v^2/c^2}\right)^2}=\frac{m}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} ]

带回原积分:

[W_F=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v}=\int_0^v{\frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\text{d}v}=\left.\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right|_0^v=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2 ]

记洛伦兹因子

(\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2})

。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量,假设初始动能为

(0)

,那么点

(s)

的动能就为

(E_k=\gamma mc^2-mc^2)

。我们视第一部分

(\gamma mc^2)

为总能量,第二部分

(E=mc^2)

为静能,就得到了质能方程。

—3.蒲丰投针问题

平面内有无穷条相距 (a) 的平行线,将长度为 (b) 的针丢在平面内,求针与平行线相交的概率。

首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对

((x,\theta))

描述针在平面内的位置,其中

(x)

表示针的中点到距离最近的平行线的距离,

(x\in[0,\frac a 2])

(\theta)

表示针与平行线的夹角,

(\theta\in[0,\frac \pi 2])

。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式:

[x \leqslant\frac{b}{2}\sin\theta ]

我们将满足解的数对

((x,\theta))

表在平面内,就会形成如下蓝色区域:

§4-图4

​ 我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前,要注意到当

(b>a,\sin\theta>\frac a b)

时,蓝色区域会被限制成矩形,此时要分开求积分。于是:

(b\leqslant a)

时,

[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{2} \ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{2b}{\pi a} \end{align*} ]

(b>a)

时,

[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}+\int_{\arcsin\frac{a}{b}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{a}{2}\text{d}\theta} \ &=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\arcsin\frac{a}{b}}+\frac{a}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{a}{b}\right) \ & = \frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b} \ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}} \ & =1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} \end{align*} ]

综合起来:

[P= \left{ \begin{align*} & \frac{2b}{\pi a} &&(b\leqslant a) \ & 1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} &&(b>a) \end{align*} \right. ]

读者可自证:给定

(a)

,总有

(0<P<1)

(P)

(b)

的增大严格减小,当

(b\to\infin)

(P\to 1)

​ 这个实验在历史上曾用来估计

(\pi)

的大小,不少人做过此实验(下随意取几例):

试验者 时间 投掷次数 相交次数 \(\pi\) 估计值
Smith 1855年 3204 1218.5 3.1554
Lazzerini 1901年 3408 1808 3.1415929
Reina 1925年 2520 859 3.1795

而其中多数要么很不精确,要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承,现在在计算机领域仍广为应用。

—4.不规则物体的引力

求平面内线密度 (\rho) 的曲线 ((x(t),y(t)),t\in[a,b]) 对质量为 (m) 的质点 ((p,q)) 的引力的大小。

老规矩,分割区间

([a,b])

,近似计算出每一段的质量:

[M_i=\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i ]

取每一段上的一点

((\xi_i,\psi_i))

,算出其到质点的距离:

[L_i=\sqrt{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} ]

计算出此段对质点的引力大小:

[F_i=\frac{GmM_i}{L_i^2}=\frac{Gm\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} ]

将力分解到坐标轴方向上:

[{F_i}_x=F_i\cos\theta_i=\frac{Gm\rho(\xi_i-p)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}}\ {F_i}_y=F_i\sin\theta_i=\frac{Gm\rho(\psi_i-q)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}} ]

求和求出合力,并套入极限:

[F_x=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}x}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(x(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} \ F_y=\lim{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}_y}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(y(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} ]

于是这个引力的大小就是

(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2})

本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说,积分是微分的逆操作(这将在第五章微分方程充分体现)。广义来说,对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分(积分甚至不一定连续,例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”),再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节,我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法,那将是一个纯粹技术性的章节。

[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathtt{Square-Circle} : 2021.. \sim 2022.5.2 \ \ ]

  1. 另一种理解是将

(\int{\text{d}y})

​ 视作函数

(f(y)=1)

​ 的积分,那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎

  1. 这里拉格朗日中值定理的使用条件,应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐,并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎
  2. 势能的定义实则是很复杂的,涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎
  3. 以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²↩︎
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