【以下内容仅为本人在做题学习中的所感所想，本人水平有限目前尚处学习阶段，如有错误及不妥之处还请各位大佬指正，请谅解，谢谢！】
！！！观前提醒！！！
【本文篇幅较大，如有兴趣建议分段阅读】
有关二分查找
作用：在有序集合中快速查找目标值
适用性：
1. 只能查找有序的数据集
顺序存储的数据结果就是数组了，也就是二分查找只能从数组中查找，而不能查找链式存储的数据集，比如查找链表中的数，就不能用二分查找。
2. 针对的是静态有序数据集
二分查找适合那种不经常变动的数据集合。如果经常插入、删除的数据集，每次插入和删除都要保证集合数据的有序，维护动态数据有序的成本很高。所以二分查找适合从有序的不经常变动的数据集合中查找。适合数据集合已经排好序，但是需要经常查找的场景。
3. 不适合数据量太大或者太小的场景
因为二分查找需要依赖数组这种数据结构，而数组要求连续的内存空间，其需要把所有数据全部读入内存中，因此数据量太大的，对内存要求比较高。如果数据量只有几十个，那么不论是使用二分查找还是顺序遍历，查找效率都差不多。
有关二分查找的边界问题
“思路很简单，细节是魔鬼”
二分的几个常用情景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界
以下是二分查找的基本框架：
1 public int BinarySearch(int[] nums, int target) { 2 int left = 0, right = ...; 3 while(...) { 4 int mid = left + ((right - left) >> 1); 5 if (nums[mid] == target) { 6 ... 7 } else if (nums[mid] < target) { 8 left = ... 9 } else if (nums[mid] > target) {10 right = ...11 }12 }13 return ...;14 }分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。
（一） 寻找一个数
1 public int BinarySearch(int[] nums, int target) { 2 int left = 0; 3 int right = nums.length - 1; //【1】 4 5 while(left <= right) { //【2】 6 int mid = left + ((right - left) >> 1); 7 if(nums[mid] == target) 8 return mid; 9 else if (nums[mid] < target)10 left = mid + 1; //【3】11 else if (nums[mid] > target)12 right = mid - 1; //【4】13 }14 return -1;15 }1. while中的循环条件
循环条件由搜索区间的结构确定，当找到目标值后，返回即可；
若没找到则需考虑终止情况。此处的搜索区间的结构是两端闭区间。当left == right时，表示区间[left, right]，此时区间内仍有一个数值未被搜索，若此时结束循环，可能错过对目标值的匹配，因此需要继续查找，则终止条件应当是left > right时，此时搜索区间为空。所以此处while中应当为“<=”。
如果要使用小于号，则在结尾加一句判断即可。
1 return nums[left] == target ? left : -1;2. left与right的加加减减
边界的加减也由搜索区间的结构确定。在[left, right]中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，若mid位置上的值不等于target，则不用再考虑mid。因为边界均可取到，所以搜索区间因改为[left, mid – 1]或[mid + 1, right]
3. 缺点
当数据中重复出现目标元素，则返回的是在重复序列中中间位置的索引，并不能得到其左侧或右侧边界。如{1, 2, 2, 2, 3, 5}，target = 2，此时返回索引为2，但其边界为[1, 3]
（二） 寻找左侧边界
1 public int LeftBound(int[] nums, int target) { 2 if (nums.length == 0) return -1; 3 int left = 0; 4 int right = nums.length; //【1】 5 6 while (left < right) { //【2】 7 int mid = left + ((left + right) >> 1); 8 if (nums[mid] == target) { 9 right = mid; //【3】10 } else if (nums[mid] < target) {11 left = mid + 1;12 } else if (nums[mid] > target) {13 right = mid; //【4】14 }15 }16 return left;17 }1. while中的循环条件
同理，此处的搜索区间为左闭右开型，当left == right时，表示区间[left, right)，此时的区间已经为空，故可以终止。
注：这里解释一下为何上面用两端闭区间，而这里用左开后闭区间。因为这样的写法比较普遍，不这么写也可以，后文将会展示三种写法(两端闭，左开右闭，左闭右开)。
2. left与right的加减
因为此处是左闭右开区间，在[left， right)中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，[left, mid)和[mid + 1, right)。为了保证区间结构不变，所以right应变为mid，left应变为mid + 1
3. 有关结尾的返回值
返回值表示目标值在序列中的左侧边界，等价于小于目标值的元素个数。分析可知left的取值范围是[0, nums.Length]，所以当left == nums.Length时，说明没有一个元素小于target，即target在该序列中不存在，返回-1即可。（当然，最终的返回值也可以是right，因为终止条件是left == right）
1 if (left == nums.length) return -1;2 return nums[left] == target ? left : -1;4. 该算法的核心，即为何可以查找左侧边界
1 if (nums[mid] == target) 2 right = mid;当nums[mid] == target时，因为数据有序，说明mid左侧可能存在target，所以应缩小上界，不断向左收缩。
5. 统一格式，将while循环加入等号
据原理，只需将right初值设为nums.Length – 1；right的变化改为mid – 1即可。
1 public int LeftBound(int[] nums, int target) { 2 int left = 0, right = nums.length - 1; 3 while (left <= right) { 4 int mid = left + (right - left) / 2; 5 if (nums[mid] == target) { 6 right = mid - 1; 7 left = mid + 1; 8 } else if (nums[mid] > target) { 9 right = mid - 1;10 } else if (nums[mid] < target) {11 left = mid + 1;12 }13 }14 if (left >= nums.length || nums[left] != target)15 return -1;16 return left;17 }（三） 寻找右边界
1 public int RightBound(int[] nums, int target) { 2 if (nums.length == 0) return -1; 3 int left = 0, right = nums.length; 4 while (left < right) { 5 int mid = left + ((left + right) >> 1); 6 if (nums[mid] == target) { 7 left = mid + 1; //【1】 8 } else if (nums[mid] < target) { 9 left = mid + 1;10 } else if (nums[mid] > target) {11 right = mid;12 }13 }14 return left - 1; //【2】15 }1. left与right的加减
因为此处是左闭右开区间，在[left， right)中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，[left, mid)和[mid + 1, right) 。为了保证区间结构不变，所以right应变为mid，left应变为mid + 1
2. 有关最后返回值
因为对left的更新为mid + 1，结束时会产生以下结果：
[注：上图来源于搜索引擎查找结果】
所以需返回left – 1（也可返回right - 1）。
同理，当left == 0时，说明没有一个元素大于target，即target在该序列中不存在，返回-1即可。
1 if (left == 0) return -1;2 return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;3. 统一格式
1 public int RightBound(int[] nums, int target) { 2 int left = 0, right = nums.length - 1; 3 while (left <= right) { 4 int mid = left + ((right - left) >> 1); 5 if (nums[mid] == target) { 6 left = mid + 1; 7 } else if (nums[mid] > target) { 8 right = mid - 1; 9 } else if (nums[mid] < target) {10 left = mid + 1;11 }12 }13 if (right < 0 || nums[right] != target)14 return -1;15 return right;16 }
小结
写二分查找时，尽量不要出现 else，将所有情况列出来便于分析。
注意搜索区间形式和 while 的终止条件，若存在漏掉的元素，最后特判。
如需定义左闭右开的搜索区间，搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
如果将搜索区间全都统一成两端闭，只要修改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可。
从一维二分谈起
二分法，用于在集合中查找某些符合要求的元素，可以将时间复杂度降低至对数级。使用二分法的前提是查找序列的有序性，主要思想是从序列中间位置开始，根据当前的中间值与目标值的大小关系，修改区间端点，确定目标值所在区间。
- 题一：搜索旋转排序数组 33. 搜索旋转排序数组 - 力扣（LeetCode）
题意：在半有序的结合中查找目标元素的索引值
思想：选定中点，比较中点值来更改区间，但需要先判断当前所查找的区间是否为有序区间，否则不能使用二分法
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public int Search(int[] nums, int target) { 5 int n = nums.Length; 6 if(n == 0) return -1; 7 if(n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1; 8 9 int left = 0, right = n - 1;10 while(left <= right) {11 int mid = left + ((right - left) >> 1);12 if(target == nums[mid]) return mid;13 if(nums[0] <= nums[mid]) {14 if(nums[0] <= target && target < nums[mid]) right = mid - 1;15 else left = mid + 1;16 }17 else if(nums[0] > nums[mid]){18 if(nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) left = mid + 1;19 else right = mid - 1;20 }21 }22 return -1;23 }24 }
1 //C++ Version 2 3 class Solution { 4 public: 5 int search(vector<int>& nums, int target) { 6 int n = (int)nums.size(); 7 if(n == 0) return -1; 8 if(n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1; 9 10 int left = 0, right = n - 1;11 while(left <= right) {12 int mid = left + ((right - left) >> 1);13 if(target == nums[mid]) return mid;14 if(nums[0] <= nums[mid]) {15 if(nums[0] <= target && target < nums[mid]) right = mid - 1;16 else left = mid + 1;17 }18 else if(nums[0] > nums[mid]){19 if(nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) left = mid + 1;20 else right = mid - 1;21 }22 }23 return -1;24 }25 };
- 题二：长度最小的子数组 209. 长度最小的子数组 - 力扣（LeetCode）
题意：找出数组中满足其和大于等于目标值的长度最小的连续子序列
思想：要判断连续区间内的和，就先求出原数组的前缀和，因为题保证了数组中每个元素都为正，所以前缀和一定是递增的，保证了二分的正确性。
得到前缀和之后，对于每个开始下标 i，可通过二分查找得到大于或等于i的最小下标 bound，使得 sum[bound] - sum [i−1] ≥ target，并更新子数组的最小长度，此时子数组的长度是bound - i + 1。
【注：此解法非最优解】
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public int MinSubArrayLen(int target, int[] nums) { 5 int n = nums.Length; 6 if (n == 0) return 0; 7 int ans = int.MaxValue; 8 int[] sums = new int[n + 1]; 9 for (int i = 1; i <= n; ++i) 10 sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1];11 for (int i = 1; i <= n; ++i) {12 int s = target + sums[i - 1];13 int bound = LowerBound(sums, i, n - 1, s);14 if (bound != -1)15 ans = Math.Min(ans, bound - i + 1);16 }17 return ans == int.MaxValue ? 0 : ans;18 }19 private int LowerBound(int[] nums, int left, int right, int s) {20 while (left <= right) {21 int mid = left + ((right - left) >> 1);22 if (nums[mid] < s) left = mid + 1;23 else right = mid - 1;24 } 25 return (nums[left] >= s) ? left : -1;26 }27 }
1 //C++ Version 2 3 class Solution { 4 public: 5 int minSubArrayLen(int s, vector<int>& nums) { 6 int n = nums.size(); 7 if (n == 0) return 0; 8 int ans = INT_MAX; 9 vector<int> sums(n + 1, 0); 10 for (int i = 1; i <= n; i++)11 sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1];12 for (int i = 1; i <= n; i++) {13 int target = s + sums[i - 1];14 auto bound = lower_bound(sums.begin(), sums.end(), target);15 if (bound != sums.end())16 ans = min(ans, static_cast<int>((bound - sums.begin()) - (i - 1)));17 }18 return ans == INT_MAX ? 0 : ans;19 }20 };
- 题三：寻找峰值 162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
题意：找到数组中某个峰值元素的索引（且nums[-1]与nums[len] = 负无穷）
思想：首先思考如何判断峰值所在区间。
假设mid < mid + 1
- 对于mid – 1，无论是mid – 1 > mid还是mid – 1 > mid均不能得到mid是峰值；
- 对于mid + 2，有两种情况：若mid + 2 < mid + 1则峰值为mid + 1；若mid + 2 > mid + 1，继续后推，由于边界后的值为-∞，那么一定可以得到最后一个值为峰值。
综上：峰值一定在较大的一部分。
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public int FindPeakElement(int[] nums) { 5 int left = 0, right = nums.Length - 1; 6 while(left < right) 7 { 8 int mid = left + (right - left) / 2; 9 if(nums[mid] > nums[mid + 1]) right = mid;10 else left = mid + 1;11 }12 return left;13 }14 }
1 //C++ Version 2 3 int findPeakElement(vector<int>& nums) { 4 int left = 0, right = nums.size() - 1; 5 for (; left < right; ) { 6 int mid = left + (right - left) / 2; 7 if (nums[mid] > nums[mid + 1]) { 8 right = mid; 9 } else {10 left = mid + 1;11 }12 }13 return left;14 }
小结
一维二分思想和操作较为简单，具体步骤为：
1. 确定并构建查找对象。即是查找元素，还是查找和、差等，构建出用于查找的序列，如：前缀和。
2. 判断二分后目标值可能的所在区间。一般是通过中值和目标值的比较更改区间，特殊地（如峰值寻找）需要运用一定数学知识进行判断。
有关二维二分
二维本质上可以看作是一维的叠加，某些简单的情况下，可以一维一维的查找。也可以从定义出发，从中点开始进行区间更改。当然，二维二分也有一些常见的变式，如从一个端点、对角线两个端点出发等。
- 题一：搜索二维矩阵 74. 搜索二维矩阵 - 力扣（LeetCode）
题意：在二维矩阵中查找某个值是否存在。
思想：可以将二维数组划分为一维数组，一行一行或一列一列进行判断。可以对矩阵的第一列的元素二分查找，找到最后一个不大于目标值的元素，然后在该元素所在行，进行二分查找目标值是否存在。
1 //C# Version 2 3 class Solution { 4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) { 5 int rowIndex = BinarySearchFirstColumn(matrix, target); 6 if (rowIndex < 0) return false; 7 return BinarySearchRow(matrix[rowIndex], target); 8 } 9 10 private int BinarySearchFirstColumn(int[][] matrix, int target) {11 int low = -1, high = matrix.Length - 1;12 while (low < high) {13 int mid = (high - low + 1) / 2 + low;14 if (matrix[mid][0] <= target) low = mid;15 else high = mid - 1;16 }17 return low;18 }19 20 private bool BinarySearchRow(int[] row, int target) {21 int low = 0, high = row.Length - 1;22 while (low <= high) {23 int mid = (high - low) / 2 + low;24 if (row[mid] == target) return true;25 else if (row[mid] > target) high = mid - 1;26 else low = mid + 1;27 }28 return false;29 }30 }
也可以从定义出发，从中间点开始进行判断。
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) { 5 int m = matrix.Length, n = matrix[0].Length; 6 int low = 0, high = m * n - 1; 7 while (low <= high) { 8 int mid = low + ((high - low) >> 1); 9 int x = matrix[mid / n][mid % n];10 if (x < target) low = mid + 1;11 else if (x > target) high = mid - 1;12 else return true;13 }14 return false;15 }16 }
注意到每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。因此，把每一行拼接到前一行可以得到一个递增序列，所以可以从右上角开始进行判断。
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) { 5 int n = matrix.Length; 6 if(n == 0) return false; 7 int row = 0, col = matrix[0].Length - 1; 8 while(row < n && col >= 0) 9 {10 if(matrix[row][col] < target) row++;11 else if(matrix[row][col] >target) col--;12 else return true;13 }14 return false;15 }16 }
1 //C++ Version 2 3 class Solution { 4 public: 5 bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) { 6 int row = matrix.size(), col = matrix[0].size(); 7 for(int i = 0, j = col-1; i < row && j >= 0;) { 8 if(matrix[i][j] == target) 9 return true;10 else if(matrix[i][j] > target) 11 j--;12 else if(matrix[i][j] < target)13 i++;14 }15 return false;16 }17 };
- 题二：有序矩阵中的第K小的元素 378. 有序矩阵中第 K 小的元素 - 力扣（LeetCode）
题意：在矩阵中找到第K小数
思想：可以从定义出发，从中间点开始进行判断。关键是统计对于当前数mid，有多少个比它小的数。
若每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数，则cnt = i * n + j。但本题不满足该条件，则需要寻找一个参照值，通过循环，统计小于等于当前值的元素数。观察四个边角，左上角的元素最小，右下角的元素最大，而左下角和右上角的元素大小与mid相比是未定的，不妨取二者其一作为参照值。
在此，取左下角的值为参照值。
1 //C# Version 2 3 public class Solution { 4 public int KthSmallest(int[][] matrix, int k) { 5 int n = matrix.Length; 6 int left = matrix[0][0], right = matrix[n - 1][n - 1]; 7 while(left < right) { 8 int mid = left + ((right - left) >> 1); 9 if(Check(matrix, mid, k, n)) right = mid;10 else left = mid + 1;11 }12 return left;13 }14 private bool Check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {15 int cnt = 0;16 int i = n - 1, j = 0;17 while(i >= 0 && j < n) {18 if(matrix[i][j] > mid) i--;19 else {20 cnt += i + 1;21 j++;22 }23 }24 return cnt >= k;25 }26 }
- 题三 乘法表中第K小数 668. 乘法表中第k小的数 - 力扣（LeetCode）
本题与上题类似，只是在计数上有变化。
1 /C# Version 2 3 public class Solution { 4 public int FindKthNumber(int m, int n, int k) { 5 int left = 1, right = m * n; 6 while(left < right) { 7 int mid = left + ((right - left) >> 1); 8 if(CheckCnt(mid, k, m, n)) right = mid; 9 else left = mid + 1;10 }11 return left;12 }13 private bool CheckCnt(int mid, int k, int m, int n) {14 int cnt = 0;15 for(int i = 1; i <= m; i++) cnt += Math.Min(mid / i, n);16 return cnt >= k;17 }18 }
小结
二维二分通常从边角出发，通常以边角值为参照值，进行区间的更新。其本质依旧是比大小，改区间。
有关第K小数
在此介绍一种算法：中位数的中位数算（BFPRT），该算法主要解决TOP-K问题。
有一个经典的问题，“从长度为N的无序数组中找出前k大的数”。TOP-K问题的最简单解法为快速排序后取第K大的数，但快速排序可能会达到最坏情况时间复杂度O(n2)，且会对无用的数据进行排序操作（归并除外）。而该算法的主要优化是，修改快速排序选择主元的方法，优化最坏时间复杂度。
对于快速排序，一般选择中间位置的元素作为参照值，将小的数移到参照值左边，大的数移到右边，此时对于中间位置的该值，即为序列中第n/2小的数。
那么，是否可以用类似的方法，通过一次O(n)的操作找出第k小数呢？
该算法通过“随机选择”实现了这个操作，其思想与快排类似，仅仅改变了对参照值的选取。
具体流程：
1.将n个元素划为 n/5 组，每组5个，至多只有一组由 n%5 个元素组成。
2.寻找每一个组的中位数（可以用插排）。
3.对步骤2选出的 n/5 个中位数，重复步骤1和步骤2，递归下去，直到剩下一个数字。
4.最终剩下的数字近似为序列的中位数pivot，把小于等于它的数放左边，大于的数放右边。
5.判断pivot的位置与k的大小，如果pivot > k，则在[0, pivot – 1]内寻找第k小数；反之在[pivot + 1, n - 1]内寻找 k – pivot 小的数。
注意下面两种分治的思想：
1.分治法O(nlogn)：大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序。
2.减治法O(n)：大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int InsertSort(int array[], int left, int right); 5 int GetPivotIndex(int array[], int left, int right); 6 int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index); 7 int BFPRT(int array[], int left, int right, int k); 8 9 ///划分10 int Partition(int arr[], int left, int right, int pivot_index) {11 swap(arr[pivot_index], arr[right]); // 把主元放置于末尾12 13 int partition_index = left; // 跟踪划分的分界线14 for (int i = left; i < right; i++)15 if (arr[i] < arr[right])16 swap(arr[partition_index++], arr[i]); // 比pivot小的都放在左侧17 18 swap(arr[partition_index], arr[right]); // 最后把pivot换回来19 return partition_index;20 }21 22 ///返回第 k 小数的下标23 int BFPRT(int arr[], int left, int right, int k) {24 int pivot_index = GetPivotIndex(arr, left, right); // 得到中位数的中位数下标25 int partition_index = Partition(arr, left, right, pivot_index); // 进行划分，返回划分边界26 int num = partition_index - left + 1;27 28 if (num == k)29 return partition_index;30 else if (num > k)31 return BFPRT(arr, left, partition_index - 1, k);32 else33 return BFPRT(arr, partition_index + 1, right, k - num);34 }35 36 ///返回 [left, right]的中位数。37 int Insertion(int arr[], int left, int right) {38 int temp, j;39 for (int i = left + 1; i <= right; i++) {40 temp = arr[i];41 j = i - 1;42 while (j >= left && arr[j] > temp) {43 arr[j + 1] = arr[j];44 j--;45 }46 arr[j + 1] = temp;47 }48 return left + ((right - left) >> 1);49 }50 51 ///数组每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，最后返回这些中位数的中位数下标52 ///末尾返回语句最后一个参数多加 1 的作用是向上取整，可以始终保持 k 大于 0。53 int GetPivotIndex(int arr[], int left, int right) {54 if (right - left < 5)55 return Insertion(arr, left, right);56 int sub_right = left - 1;57 58 // 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边59 for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5) {60 int index = Insertion(arr, i, i + 4);61 swap(arr[++sub_right], arr[index]);62 }63 64 // 利用 BFPRT 得到这些中位数的中位数下标65 return BFPRT(arr, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);66 }67 68 int main() {69 ios::sync_with_stdio(false);70 int k = 8; // 1 <= k <= array.size71 int nums[20] = { 12, 9, 7, 1, 13, 9, 15, 0, 26, 2, 17, 5, 14, 31, 6, 18, 22, 7, 19, 41 };72 73 cout << "The Source Data：";74 for (int i = 0; i < 20; i++)75 cout << nums[i] << " ";76 cout << endl;77 78 // 因为是以 k 为划分，所以还可以求出第 k 小值79 cout << "The Kth smallest number：" << nums[BFPRT(nums, 0, 19, k)] << endl;80 81 cout << "After Processing：";82 for (int i = 0; i < 20; i++)83 cout << nums[i] << " ";84 cout << endl;85 return 0;86 }
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